物理学 高校生くらいの方へ

数学は役に立つか?

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多くの学生は数学って人生で役に立つのか?という疑問を感じながら数学を学んでいる(学ばされている)と思います。すでに社会人になって働いている方々に聞いたとしても、数学は全く仕事に使っていない、と言う方がほとんどでしょう。理系で大学を出て就職してもです。

例えばプログラミングの仕事に就くなら使う可能性もありますし、使わないでもうまくやっていけるかもしれません。工学系の分野にいって就職する場合には使う可能性が大きくなります。
しかしけっきょく、あなたの将来が不確定で具体的なビジョンがなければ、とりあえずやっておいて損はないとしか言えないでしょう。

数学は使わないけどそれで培った論理力は重要だと言う方がいるかもしれません。それは根本的な疑問には答えられているとは思いませんが、一つの回答だと思います。

しかし、ここで言いたいことはそういうことではありません。

役に立つのかを人に聞くのではなく、自分の意思をもって、自分で考えて使ってみようとすることをおすすめします。
もしも、学ぶ前から役に立つかどうかを考えてしまって、役に立たなそうなことは学ばないというスタンスでいると、新しい発見はありません。

数学に限らず、どんな学問でも、学んだ知識を頭の片隅においておきながら生活していると、使えるときがくるはずです。

具体的には?

それでもどんなときに使えるか具体的に聞いておかないとやっぱりモチベーションが足りないという方がいるかと思います。その方のために少しだけ今思いついた例をあげておきます。

例えば高校数学の三角関数でsin, cos, tanを学んだ場合を考えてみます。これらは単なる直角三角形の辺の比を表しています。\( {\rm sin} 30^o = 1/2 \) と覚えさせられた人もいると思います。
しかし応用したいときにちょうど30度になっている場合は稀ですので、もうちょっと良い単位であるラジアンを使いましょう。180度 = \( \pi \) ラジアンです。つまり30度は \( \pi/6 \) ラジアンです。

ここで、じつは角度が十分小さいときには、$$ {\rm sin}  \theta \simeq \theta $$という近似式が使えます。
これは、\( {\rm sin}  \theta \) の \( \theta = 0 \) での微分は1なので、\( {\rm sin} \theta \simeq \theta + \dots \) のように小さい\( \theta \)で展開できるからです。
ここで微分が役に立ちました。微分は近似をするときに有用なのです。

さて、\( {\rm sin} \theta \simeq \theta \) の知識はどのように使えるでしょうか?
山に注目してみましょう。sin関数は、山の角度を与えると「山の高さ」割る「山の斜面の長さ」を出してくれます。
そこで、たとえばスキーに行ったとします。スキーのパンフレットには、初級、中級、上級コースの斜面のおおよその角度が書かれていたりします。それぞれだいたい10度、20度、30度程度になっていると思います。
ゴンドラ乗り場にはたまにゴンドラの全長が表示されています。それを用いると、どれくらいの高さを登るのかを三角関数を用いて概算することができます。
例えば中級者用のゴンドラが300メートルあったとします。このとき、山の高さはだいたい
$$ \sim 300 m \times {\rm sin} \pi / 9 \sim 300 m \times \pi / 9 \sim 100 m $$
と見積もることができます。角度が20度というと緩い斜面のように感じてしまいますが、結構な高さまで登っていることがわかります。

山登りをしているときに、目標の高さまで登るには斜面を何km歩き続ければいいのか概算することもできます。
山登りをしているときやスキーでゴンドラに乗っているときは頭が暇なので、計算しながら登ってみてはどうでしょうか。

 

積分はどうでしょうか?日常で使う場面はあるでしょうか?すみません、簡単なものはちょっと思いつきません。。

あまり関係がありませんが、一つ思ったことを書いておきます。

1から100まで全部足したらいくつになるでしょうか?高校生なら和の公式を覚えさせられているので答えられるかもしれませんが、私はわすれました。でも積分ならできます。
積分は和の連続版ですので、逆に和を積分で近似することもできます。これから、1から100までの和は、
\( \sum_{n=1}^{100} n \simeq \int x d x = [x^2 /2]^{100}_0 = 100^2/ 2 \)
となります。和の公式 \( \sum n = n(n+1)/2 \)とだいたいかわらないですね。

知らない知識があって完全な答えがわからなくても、他で補うことができるのは重要な能力です。まずは自分の知っている知識を使いこなすことが重要です。たくさん知識があるだけで使いこなせない、ではあまり意味がないのです。
とりあえず学んでみて、考えて使いこなす。自分が持っている知識を総動員しながら日常生活を過ごしてみると、いろいろな発見があるかもしれません。

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